理数の特集 数学・幾何 · ASL-007 · 第2版
i²＝−1から、図形の特異点を調べる数学へ
複素数の計算を確かめながら、二つのサイクルが一致するという研究の問いを読む
2026年10月20日確認 · AI補助：Codex · 掲載版
数学の研究要旨に、zⁿ＝y（xᵃ＋yᵇ）という式と、「極大イデアルサイクルと基本サイクルの一致」という言葉が並んでいます。記号を読めても、何を調べているのか見当が付かないかもしれません。必要なのは、難しい定義をまとめて覚えることより、数が図形になり、図形の一か所を調べる情報へ変わる順序をつかむことです。
出発点は、二乗すると−1になる数iです。計算を一つずつ確かめ、数の平面から、方程式で決まる曲面へ進みます。到達点は研究の証明をすべて理解することではなく、何と何を比較し、どこに未確認の条件が残るかを区別して要旨を読み直せることです。
01
2019年の要旨が尋ねていること
日本数学会の2019年度年会の公式公開ページに、この研究の発表要旨があります。対象は、ある形の方程式で定まる複素曲面の特異点。解消という操作の上で定まる二つのサイクルMとZが、どの条件で一致するかを報告する内容です。2019年の発表を、いま発表された新成果として紹介するものではありません。
サイクルはこの文脈では、曲線に整数の重みを付けた組合せです。MとZは一つの数の名前ではありません。要旨のM≧Zも、面積や長さの大小ではないのです。ここへ戻るために、まず「複素」という言葉を、普通の計算から確かめます。
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
02
二乗して負になる数を、計算に加える
実数は、正の数、0、負の数を数直線の上で扱える数です。例えば3を二乗すると9、−3を二乗しても9になります。正同士、負同士の掛け算はどちらも正で、0の二乗は0です。実数の範囲では、二乗して−1になる数はありません。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
そこで、iという記号を使い、その二乗が−1になる計算の範囲を作ります。虚数単位（複素数を表すための基準となる数）と呼びます。「虚」という名前から、何でも好きに決めてよい数字と考えると計算を追えません。i²＝−1という規則と、加算・乗算の規則を一緒に守ります。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]
- i
- 虚数単位。二乗すると−1になる基準の数。
- i²
- iを2回掛けたもの。2×iではありません。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
「存在しない答えを無理に作るだけでは」と感じる場合は、次の計算で何ができるようになるかを見ると意味が分かります。iを導入すると、数直線の左右だけでなく、平面の上で加算や回転を同じ計算として扱えます。新しい記号は、計算と図形を結び付ける働きを持ちます。
03
3＋2iは、一つの点を二つの実数で表す
複素数は、実数aとbを使い、a＋biという形で表します。3＋2iなら、実数だけの部分が3、iに掛かる実数が2です。前者を実部、後者を虚部と呼びます。虚部は2であって2iではありません。この区別をしておくと、図の縦軸に何を書けばよいかも決まります。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
- z
- この節で扱う一つの複素数。
- a
- 実部。複素平面の横方向の座標に使う実数。
- b
- 虚部。複素平面の縦方向の座標に使う実数。
- bi
- 虚部bにiを掛けた項。虚部そのものの名称ではありません。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
複素平面では、横軸を実軸、縦軸を虚軸と呼びます。実数3も3＋0iと書けるので、横軸上の点です。実数を捨てて別世界へ移るのではなく、実数を含む範囲へ広げています。虚部が0でない複素数は数直線から外れますが、複素数すべてが実数以外という意味ではありません。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
点（3，2）と書くこともできます。ただし、二つの数の組を描いただけでは、掛け算の意味はまだ決まりません。どのように加え、どのように掛けるかを定めたことまで含めて複素数です。平面上の場所という見方と、計算できる数という見方を行き来します。
04
足し算は、横と縦を別々に足す
3＋2iに−1＋iを足します。実数の項は3と−1、iの項は2iとiです。同じ種類の項を集めると、2＋3iになります。iの規則を使う前でも、文字を含む式の足し算と同じように追えます。
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
- 3＋2i
- 最初の複素数。実部3、虚部2。
- −1＋i
- 足す複素数。実部−1、虚部1。iの前の1は省略して書けます。
- 2＋3i
- 結果。実部2、虚部3。
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
ここでの矢印は、原点から点へ向かうベクトル（向きと大きさを持つ量）としても読めます。二つの矢印をつなぐと、横の移動も縦の移動もそれぞれ合計されます。式の3−1、2＋1が図の移動に対応しているため、計算を絵で確かめられます。
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
引き算なら、逆向きの移動を足すと考えられます。例えば、2＋3iから−1＋iを引けば3＋2iへ戻ります。複素数の計算は、いきなり難しい式へ進む必要はありません。同じ例を、式から点へ、点から式へ戻して確かめるだけでも、記号の働きが明確になります。
05
iを掛けると、なぜ90度回るのか
掛け算では、i²＝−1が働きます。3＋2iにiを掛けると、i×3とi×2iに分けられます。後半は2i²＝−2なので、答えは−2＋3iです。横3・縦2だった点が、横−2・縦3へ移ります。
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
- i（3＋2i）
- 複素数3＋2iにiを掛けること。括弧の両方の項へ掛けます。
- i²
- −1へ置き換える項。ここで符号が変わります。
- （a，b）→（−b，a）
- 実部と虚部が回転前後でどう変わるかを示す対応。
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
根拠：MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff [M007-S03]
座標を動かして確かめる
iを掛けると、どこへ動く？
実部・虚部を変え、iを掛けた後の座標を確かめます。図は計算規則を描く模型です。特異点の解消計算ではありません。
● 青：元の数■ 橙：iを掛けた数
3 + 2i → −2 + 3i
横・縦とも1目盛りを1に固定しています。iを掛けると(a,b)は(−b,a)へ移り、原点を中心に反時計回りへ90度回ります。原点は動きません。JavaScriptが無効なら初期例を表示します。
原点からの距離も確かめられます。回転前は√（3²＋2²）、回転後は√（（−2）²＋3²）で、どちらも√13です。ここで√は、二乗すると中の数になる非負の実数を表します。横と縦の役割と符号が変わっても、距離は変わりません。
iをもう一度掛ければ、さらに90度回って−3−2iになります。計算でもi²（3＋2i）＝−（3＋2i）です。合計180度の回転が、−1を掛けることと一致します。4回なら元へ戻るので、i⁴＝1とも対応します。i²＝−1は、平面上の回転としても矛盾なく読める規則なのです。
06
方程式を満たす点を集めると、図形になる
ここからは、数を点として置くだけでなく、方程式を満たす点をすべて集めます。まず実数の例でy＝x²を考えます。x＝−1ならy＝1、x＝0ならy＝0、x＝1ならy＝1。条件を満たす点をつなぐと放物線になります。式は、図形を決める条件として使えます。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
次にy²＝x³を考えます。実数でx＜0なら右辺が負になり、二乗である左辺と一致しません。x＝1ならy＝1と−1、原点ではy＝0です。上と下の二つの腕が原点で尖って出会います。原点を尖点と呼び、この曲線の特異点の例になります。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
特異点を「式の値を定義できない点」と覚えると、この例を説明できません。原点を代入すれば0＝0となり、曲線に含まれます。問題は、そこでも他の点と同じように滑らかな曲線として扱えるかです。代数幾何では、方程式の変化のしかたや局所的な関数の性質を使って、正則な点と特異な点を区別します。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
y²−x³という式の、x方向の変化率は−3x²、y方向は2yです。原点では両方とも0になります。この曲線では、それが特異性を見つける手掛かりです。反対にy−x²では、y方向の変化率が常に1なので、この問題は起きません。変化率の計算をまだ知らなくても、「近くを滑らかな座標で記述できるか」を調べていると押さえれば、次へ進めます。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
根拠：The Stacks Project [M007-S04]Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
07
複素2次元の曲面は、紙の2次元と同じではない
複素数一つに、実部と虚部という二つの実数がありました。複素変数x、y、zをそれぞれ動かすなら、実数の座標は合計六つです。ここでxという一文字は、横位置一つだけを表しているのではありません。三つの複素数の組を扱う場所は、複素3次元、実数の座標では6次元です。
根拠：NIST Digital Library of Mathematical Functions [M007-S02]Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
この場所で、複素数の方程式を一つ課します。複素数同士が等しいとは、実部同士も虚部同士も等しいということです。独立な条件として働く正則な点の近くでは、実数の条件を二つ課すことに相当し、自由に動かせる座標が6から4へ減ります。複素数で数えると3から2です。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
この説明の背後には、条件が適切なら一つの変数を他の変数の関数として局所的に解ける、という陰関数定理があります。独立かどうかを確かめず、何本式があっても座標数からその本数を引けばよいわけではありません。例えば同じ式を二回書いても、新しい条件は増えません。
根拠：Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
複素曲面と呼ぶときの「曲面」は、複素次元が2という意味です。普段の紙や球の表面のような実2次元ではなく、正則な部分は実4次元になります。特異点を含む研究対象を複素2次元と呼ぶことと、その特異点の周囲まで滑らかな実4次元の空間であることは別です。紙の図では全体を忠実に描けないため、座標の模式図や一部の実数例を使い分けます。
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
08
研究の式は、どの点を集める条件なのか
要旨に戻り、方程式を読みます。ここではx、y、zが複素変数です。指数に使うaとbは、前半で実部・虚部を表したaとbとは別の役割です。まずxをa乗し、yをb乗して足し、その全体へyを掛ける。それとzのn乗が等しくなる点の組を集めます。三つの文字に答えを一つずつ求めて終える計算ではなく、条件を満たす点全体の形を調べます。
- x・y・z
- この研究式では、それぞれ複素数の値を取る変数。
- a・b・n
- どの方程式を扱うかを指定する指数。変数の座標とは区別します。
- 原点
- x、y、zがすべて0となる点。本研究ではその近くの特異性を扱います。
題名にある正規も、非特異や滑らかと同じ意味ではありません。正規性は、その場所で扱う関数の環に課す代数的な条件です。関数の足し算・掛け算から作る構造についての性質であり、曲がり方が穏やかという日常語ではありません。正規でも特異点はあり得るので、「正規特異点」という表現は矛盾しません。
根拠：The Stacks Project [M007-S04]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]The Stacks Project [M007-S08]
正規性の厳密な定義には、局所環や整閉性という道具が必要です。ここでは定義をすべて展開せず、正規という仮定を置いた曲面の特異点が研究対象であることを残します。「正規だから特異点を無視してよい」と読み替えなければ、要旨が次に行う解消の役割を追えます。
09
特異点を消し去るのでなく、対応を持つ空間で調べる
特異点の解消では、元の空間Xへ写る、より扱いやすい非特異な空間を作ります。新しい空間をX̃、元へ戻す写像をπと書きます。今回のような曲面の孤立した特異点の解消では、原点の外で元と同じ情報を保つように対応させ、原点の上には例外曲線と呼ばれる曲線の集まりが現れます。
根拠：The Stacks Project [M007-S04]The Stacks Project [M007-S05]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
根拠：The Stacks Project [M007-S04]The Stacks Project [M007-S05]
「尖った所を削って丸くする」と考えると、重要な情報を落とします。削った点は失われますが、解消では、その上に現れた曲線や、それらがどう交わるかを調べます。元へ戻す写像も一緒に持つので、新しい空間だけを眺めて別の問題へ変えてしまう操作とは違います。
根拠：The Stacks Project [M007-S04]The Stacks Project [M007-S05]
方程式の係数などを変えて滑らかな図形の族を考える平滑化とも区別します。解消は、元の空間への写像を持つ別の空間で特異点を調べる方法です。平滑化は方程式を変化させていく考え方で、ここでMとZを定める土台となる解消を、単なる式の微調整へ置き換えることはできません。
要旨の「良解消」は、例外曲線自体が滑らかで、その交わりも整理された条件を満たす解消です。「最小良解消」は、その良い条件を保つ範囲で最小の解消を指します。見た目の図が一番小さいという意味ではありません。また、例外曲線は複素1次元なので、正則な部分を実数の座標で見れば2次元です。紙に引いた線は、その配置を示す記号として読んでください。
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート [M007-S07]
10
M≧Zは、同じ曲線に付いた重みを一つずつ比べる
解消で現れた曲線をE₁、E₂、…と名付けます。それぞれに非負の整数の重みを付け、m₁E₁＋m₂E₂＋…と書いたものが、ここで使う有効サイクルです。同じ曲線の配置でも、重みが変われば別のサイクルになります。面積を足した図形でも、線を実際に何本も重ねて描いたものでもありません。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
- Eⱼ
- 解消で現れるj番目の例外曲線。
- mⱼ・zⱼ
- 同じ曲線Eⱼに対してMとZが持つ非負整数の重み。
- M≧Z
- Mの各係数が、対応するZの係数以上であるという比較。
- M＝Z
- すべての対応する係数が一致すること。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
比較の練習として、Z＝E₁＋2E₂、M＝2E₁＋3E₂という架空例を置きます。重みはそれぞれ（1，2）と（2，3）なので、二つともMのほうが大きく、M≧Zです。同じ重みならM＝Zになります。この図と数値は、実在の基本サイクル・極大イデアルサイクルを算出した結果ではありません。
補足すると、重みA＝（1，2）とC＝（3，1）は、一番目と二番目で大小の向きが違うので、この比較ではどちらも他方以上とは言えません。係数の合計だけでは大小が決まらず、比較できない組もあります。これも記号の意味を確かめるだけの架空例です。
基本サイクルZは、ゼロでない有効な整数サイクルのうち、各例外曲線との交差数がすべて0以下となる条件を満たすものの最小です。ここでの最小も係数ごとの比較です。交差数には、異なる曲線同士だけでなく、各曲線の自己交差も入ります。見える交点の個数を一番少なくする、という定義ではありません。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
自己交差数は、曲面の中で曲線がどう置かれているかを表す幾何の量で、負にもなります。紙の上で同じ線を二回数えることではありません。Zを計算するには、その交差の情報を持った配置が必要です。曲線の本数だけが分かっても、最小の重みは決まりません。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
極大イデアルサイクルMは、別の入口から作ります。元の原点で0になる正則関数を集め、解消写像で新しい空間へ引き戻します。ここでの正則関数は、局所的には周囲で複素微分できる関数を曲面上で読んだものです。そして、各例外曲線に沿って共通して何次まで0になるかを記録します。例えば局所的な座標uでu²が因子に含まれ、残りの因子がuで割れなければ、その曲線に沿う消失次数は2です。0でない関数それぞれの次数を調べ、各曲線でその最小を取り、例外曲線の部分をサイクルとして取り出します。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
「極大」は重みをできるだけ大きくするという意味ではなく、原点で消える関数の集まりである極大イデアルに由来します。Mは任意に選んだ一つの関数の消失次数でもありません。関数群に共通する各曲線沿いの次数を使います。また、サイクルとして取り出した部分だけでは、曲線上の個別の点に残る情報をすべて表さない場合もあります。
根拠：Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
11
二つの作り方が、いつ同じ重みを返すのか
Zは交差の条件から、Mは原点で消える関数の引戻しから定まります。違う情報を使って作った二つのサイクルについて、一般にM≧Zという関係がある。その上で、いつすべての重みが一致するのか。最初の要旨は、この問いを特定の方程式の族で調べています。
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
根拠：一般社団法人 日本数学会 [M007-S01]Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi [M007-S06]
公式要旨は、Lauferによるz²＝y（x⁴＋y⁶）の例で、MとZが一致しないことを挙げています。指数を入れれば自動的に一致するわけではないと分かります。ただし、ここでその例の解消を計算したり、重みを独立に再現したりしたわけではありません。要旨に書かれた先行例の報告として扱います。
この発表が報告するのは、zⁿ＝y（xᵃ＋yᵇ）という形の正規な曲面特異点の最小良解消で、MとZが一致する条件です。公開要旨には、その条件の式や証明まではありません。したがって、本記事の到達点も「どの指数なら一致する」と答える所には置きません。何を比較し、どの資料があれば先へ進めるかまでを明確にします。
読み始めには一つの長い題名だったものが、複素数、方程式の図形、特異点、解消、曲線への重みという段階に分かれました。iを掛ける計算と、サイクルの一致を証明する研究は難しさが違います。それでも、定義をたどり、同じ対象を別の方法で調べたときの関係を問う、という数学の進め方は具体的に見えてきます。
読み終えた後に残る問い
二つの曲線に付いた重みの合計が同じでも、対応する係数が違えばサイクルは一致しません。図形のどんな情報なら、合計にせず一か所ずつ残す必要があるでしょうか。今回のMとZが、それぞれ何を記録していたかへ戻って考えてください。
出典と確認範囲
以下の一次資料を参照した独自の説明です。資料の図版や写真は転載していません。数式の模型・研究の実測・理論上の成果を区別しています。
- 2019年度年会 函数論分科会 事後公開・14番発表要旨
一般社団法人 日本数学会 · 公開日未確定 · M007-S01
2019年度年会のHTML14番要旨を独立に取得・実読。z^n=y(x^a+y^b)、M>=Z、Lauferのz²=y(x⁴+y⁶)での不一致例、最小良解消で一致する条件を報告するという範囲を確認。最終条件・証明・指数の全範囲はHTMLに載っていない。会員限定PDFは取得せず、認証や制限回避を行わない。2019は開催年で、ページの正確な公表日は未確認のためnull。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- DLMF §1.9(i) Complex Numbers
NIST Digital Library of Mathematical Functions · 公開日未確定 · M007-S02
§1.9(i)、式1.9.1と1.9.2を実読。z=x+iy、x/y実数、i²=-1、Re z=x、Im z=yの定義を確認。実部・虚部とも実数であり、虚部をiyとしない。3+2iなどの具体例は本稿の独自計算。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- 18.04 S18 Topic 1: Complex algebra and the complex plane
MIT OpenCourseWare / Jeremy Orloff · 公開日未確定 · M007-S03
Spring2018の講義資料の公式ページとリンク先PDF（25ページ）を取得。実部/虚部、加算、乗算、複素平面、乗算による伸縮と回転（PDF11ページ、資料内§1.9付近）を確認。本稿の加算(3+2i)+(-1+i)=2+3iとi回転、距離√13は独自の数値例。資料の全演習の検証ではない。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- The Stacks Project, Section 54.14: Resolution
The Stacks Project · 公開日未確定 · M007-S04
Definition54.14.1のregularな空間によるmodificationとしての解消、正規2次元の場合の議論を実読。解析的複素曲面の入門説明と、スキーム論の全仮定を同一視しない。本稿では解消写像と非特異な側の役割のみを独自に説明。証明全体の独立検証は行っていない。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- The Stacks Project, Section 71.17: Blowing up
The Stacks Project · 公開日未確定 · M007-S05
Lemma71.17.4で、中心の外側では同型、中心の逆像が例外因子となる性質を確認。曲面の孤立特異点に対する解消の模式説明へ用い、原点外の対応保持と点を削除する説明の違いを示す。任意の一回のブローアップで全特異点が解消するとは書かない。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- The Abel map for surface singularities I: generalities and examples
Mathematische Annalen / János Nagy, András Némethi · 2019-07-30 · M007-S06
公開HTMLの§2.1の例外曲線・交差形式・Lipman coneと、§2.4のZmin/Zmax定義・不等式を実読。Zminは非零のLipman cone内整数cycleの最小、Zmaxは極大イデアル引戻しの因子部分、Zmin<=Zmax。0次元支持の残りのイデアルもあり得る。本稿のZ/Mへ記号を対応させた。論文の有理ホモロジー球リンク等の追加仮定をすべての正規曲面へ転用せず、曲線の種数や本数・実在の解消図は引用しない。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- Notes for 18.721: Introduction to Algebraic Geometry, August 2020 Version
Massachusetts Institute of Technology / 講義ノート · 公開日未確定 · M007-S07
公式PDFを取得。§1.1の複素座標と方程式の零点、§1.4の正則/特異点と陰関数定理、§1.8の標準尖点y²=x³を確認。実数図は本稿の独自例として限定し、正則点で局所座標を残せることから次元の説明を構成。表紙にAugust2020予備稿・転載を控える旨があるため、本文・図の転載をしない。資料全体の校正・証明検証ではない。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
- The Stacks Project, Section 28.7: Normal schemes
The Stacks Project · 公開日未確定 · M007-S08
正規性を局所環の性質として定める記述を実読。本稿では環論的な条件であることと非特異性とは同義でないことに限定し、整閉性等の完全定義を省く境界を明記。正規2次元で特異点を扱うS04/S06も合わせて参照。 確認：2026-10-19T23:00:08Z
主要主張と出典の対応
M007-C01 2019年度日本数学会年会の14番要旨はzⁿ＝y（xᵃ＋yᵇ）の最小良解消でM＝Zとなる条件を報告すると記す。M007-S01。公表要旨のみ。最終条件と証明は未確認、会員限定PDF未取得、2019年を新発表扱いしない。
M007-C02 複素数a＋biでa,bは実数、i²＝−1、実部aと虚部bを持つ。M007-S02、M007-S03。虚部はbでありbiではない。実数は虚部0として複素数に含まれる。
M007-C03 iの乗算は標準的な複素平面で原点中心の反時計回り90度回転に対応する。M007-S03。例i（3＋2i）＝−2＋3i、距離√13は独自計算。実測値ではない。
M007-C04 y²＝x³は原点に尖点を持つ曲線の例であり、原点で方程式自体が未定義なのではない。M007-S07。図は実数の点の例。複素曲面の全体像や全分野の特異点の定義としない。
M007-C05 複素3変数に独立な複素1方程式を課した正則な部分は複素2次元・実4次元として数えられる。M007-S02、M007-S07。陰関数定理の正則条件を伴う局所説明。特異点を滑らかな実4次元多様体と断定しない。
M007-C06 正規性と非特異性は同じ性質ではない。M007-S04、M007-S06、M007-S08。正規性の環論的な完全定義は本稿で展開しない。正規だから特異点を無視できるとしない。
M007-C07 曲面の孤立特異点の解消では、非特異な空間からの写像を持ち、特異点外の対応と例外曲線の情報を用いる。M007-S04、M007-S05、M007-S06。自作図は模式。点の削除や係数を変える平滑化ではなく、研究式の実際の解消グラフは再現していない。
M007-C08 M≧Zは同じ解消の同じ例外曲線上の係数ごとの比較であり、Zは交差数が各曲線に対して非正となる非零有効整数サイクルの最小。M007-S06。自己交差を含む。交点数の最小や係数合計の大小ではない。A/B/Cの重みは説明だけの架空例。
M007-C09 Mは原点の極大イデアルの引戻しの例外因子部分であり、各曲線沿いの消失次数を記録する。M007-S06。点に支持された残りのイデアルがある場合もある。最大次数や任意の関数1個の次数ではない。
M007-C10 公式要旨はLauferのz²＝y（x⁴＋y⁶）の例でMとZが一致しないことを報告する。M007-S01。先行研究についての要旨の記述として採用。元論文・解消計算の独立再確認は未実施。